Question

如圖，正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1，點(diǎn)B（-1，t）為反比例函數(shù)在第三象限圖象上的點(diǎn)．
（1）試求出k及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AB=AP，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使|PA-PB|的值最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到

1

2

k=1，解得k=2，則反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

，然后把B（-1，t）代入y=

2

x

即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先解方程組

y= 1 2 x y= 2 x

可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，然后解方程求出a，確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，如圖，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），PB=PC，根據(jù)三三角形三邊的關(guān)系得到|PA-PB|=|PA-PC|≤AC（當(dāng)點(diǎn)P、C、A共線時(shí)，取等號(hào)），所以，PA-PB|的值為AC，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再確定該直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵△AOM的面積為1，
∴

1

2

k=1，解得k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

，
把B（-1，t）代入y=

2

x

得-t=2，解得t=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）；

（2）存在．
解方程組

y= 1 2 x y= 2 x

得

x=2 y=1

或

x=-2 y=-1

，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴AB=

(2+1)2+(1+2)2

=3

2

，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∴AP=

(2-a)2+(1-0)2

，
∵AB=AP，
∴

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，解得a₁=2+

17

，a₂=2-

17

，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+

17

，0），（2-

17

，0）；

（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，如圖，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∴PB=PC，
∴|PA-PB|=|PA-PC|≤AC，
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、A共線時(shí)，|PA-PB|的值最大，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（2，1）、C（1，-2）代入得

2m+n=1 m+n=-2

，解得

m=3 n=-5

，
∴直線AC的解析式為y=3x-5，
把x=0代入y=3x-5得y=-5，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．