Question

10．如圖1，在線段AB中，已知AD=2，DF=6，F(xiàn)B=1，有人想把線段A′C分成三段：A′E、EG、GC，使得A′E：EG：GC=2：6：1，他把線段AB移到A′B′的位置（即把A移到A′，把B移到B′），連接B′C，分別過(guò)F′、D′作D′E∥F′G∥B′C．

（1）若A′C=4.5，則EG=3，A′G=4；
（2）上述方法啟發(fā)我們可以解決下列問題：如圖2，已知△ABC和線段a，請(qǐng)用直尺與圓規(guī)作△A′B′C′，滿足：
①△A′B′C′∽△ABC；
②△A′B′C′的周長(zhǎng)等于線段a的長(zhǎng)度．（保留作圖痕跡，并寫出作圖步驟）

Answer 1

分析 （1）把A′C分成9份，然后利用比例的性質(zhì)計(jì)算EG和A′G；
（2）先在射線OM上截取OD=a，再射線ON上依次截取OE=AB，EF=BC，F(xiàn)G=AC，再連結(jié)DG，分別過(guò)E、F作DG的平行線交OM于H、P，則根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH：HP：PD=OE：EF：FG，然后以O(shè)H、HP、PD為三邊作三角形A′B′C′，則利用相似三角形的判定可得到△A′B′C′∽△ABC．

解答 解：（1）EG=$\frac{6}{9}$A′C=$\frac{2}{3}$×4.5=3，A′G=$\frac{8}{9}$A′C=$\frac{8}{9}$×4.5=4；
故答案為3，4；
（2）如圖，
作法如下：
①作射線OM、ON，在射線OM上截取OD=a，再射線ON上依次截取OE=AB，EF=BC，F(xiàn)G=AC，
②連結(jié)DG，分別過(guò)E、F作DG的平行線交OM于H、P，
③作B′C′=HP，分別以B、C為圓心，OH、PD為半徑畫畫交于點(diǎn)A′，連結(jié)A′B′、A′C′，
則△A′B′C′為所作．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似變換：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到．解決本題的關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例定理把原三角形各邊縮�。�