Question

在△ABC中，AC=25，AB=35，tanA=

4

3

，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，且AD=5，點(diǎn)E、F分別為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E的左邊），且∠EDF=∠A．設(shè)AE=x，AF=y．
（1）如圖1，當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F在邊AB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DEC和△ADF相似時(shí)，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)DF⊥AB，∠EDF=∠A，得出∠ADE=90°，再根據(jù)AD=5，tanA=

4

3

，即可求出AE；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB，交AB于G，先證出△EDF∽△EAD，得出ED²=AE•EF，再求出DG、AG，最后根據(jù)EG=x-3，DE²=4²+（x-3）²得出4²+（x-3）²=x•（x-y），
再進(jìn)行整理即可；
（3）先證出∠AFD=∠EDC，再分兩種情況討論：①當(dāng)∠A=∠CED時(shí)，得出

AD

AC

=

AF

AE

，

5

25

=

y

x

，再把y=6-

25

x

代入得出5（6-

25

x

）=x，再解方程即可；
②當(dāng)∠A=∠DCE時(shí)，根據(jù)△ECD∽△DAF得出

CD

AF

=

CE

AD

，

20

y

=

x

5

，再把y=6-

25

x

代入得出5（6-

25

x

）=x，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∴∠A+∠ADF=90°
∵∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠ADF=90°，
即∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=

4

3

，
∴DE=

20

3

，
∴AE=

25

3

，
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB，交AB于G，
∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，
∴△EDF∽△EAD，
∴

ED

EF

=

AE

ED

，
∴ED²=AE•EF，
∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=

4

3

，
∴DG=4，AG=3，
∴EG=x-3，
∴DE²=4²+（x-3）²，
∴4²+（x-3）²=x•（x-y），
∴y=6-

25

x

 （

25

6

≤x≤35）；
（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，
∴∠AFD=∠EDC，
①當(dāng)∠A=∠CED時(shí)，
∵∠EDF=∠A，
又∵∠CED=∠FDE，
∴DF∥CE
∴

AD

AC

=

AF

AE

，
∴

5

25

=

y

x

，
∵y=6-

25

x

，
∴5（6-

25

x

）=x，
x₁=25，x₂=5；
②當(dāng)∠A=∠DCE時(shí)，
∵∠EDF=∠A，
∴△ECD∽△DAF
∴

CD

AF

=

CE

AD

，
∴

20

y

=

x

5

，
∵y=6-

25

x

，
∴5（6-

25

x

）=x，
∴x=

125

6

，
∴當(dāng)△DEC和△ADF相似時(shí)，x=25或x=5或x=

125

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．