Question

14．已知直線l及位于其兩側(cè)的兩點(diǎn)A，B，如圖
（1）在圖①中的直線l上求一點(diǎn)P，使PA=PB；
（2）在圖②中的直線l上求一點(diǎn)Q，使直線l平分∠AQB；
（3）能否在直線l上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到點(diǎn)A，B的距離之差的絕對值最大？若能，直接指出該點(diǎn)的位置，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作線段AB的垂直平分線與l的交點(diǎn)即為所求．
（2）作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長交l于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求．
（3）圖2中的點(diǎn)Q即為所求．

解答 解：（1）連接AB作線段AB的垂直平分線MN，直線MN和直線l的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P即為所求，見圖①．
（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A₁，連接BA₁且延長交直線l于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求，見圖②．
（3）圖②中的點(diǎn)Q即為所求，見圖③．
理由如下：在直線l上任意取一點(diǎn)Q₁，連接Q₁A₁，Q₁B，Q₁A，
∵A、A′關(guān)于直線l對稱，
∴Q₁A₁=Q₁A，
∵|Q₁A₁-Q₁B|≤A₁B（當(dāng)Q₁與Q重合時(shí)等號(hào)成立），
∴|Q₁A-Q₁B|≤A₁B，
∵Q₁與Q重合時(shí)，
|QB-QA₁|=A₁B，
故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的垂直平分線性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．