Question

如圖，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

1.點(diǎn)B的坐標(biāo)為  ▲  ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為  ▲  （用含b的代數(shù)式表示）；

2.請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

3.請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.B（b，0），C（0，）

2.見解析

3.見解析

【解析】⑴令x=0,y=0,求得點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)C的坐標(biāo)

⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），連接OP，利用四邊形PCOB的面積求得x+4y=16，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，求得△PEC≌△PDB，得出x=y，解得x，y的值，根據(jù)△PEC≌△PDB，求出b的值,從而得出點(diǎn)P坐標(biāo)

⑶假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，由兩種可能：當(dāng)∠OCQ=90°時(shí)，△QOA≌△OQC；當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△QOA≌△OCQ.分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)

解：⑴B（b，0），C（0，）；

⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

  設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），連接OP，

⑶假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x軸.

∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此時(shí)∠OQB =90°.

由QA⊥x軸知QA∥y軸，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

（Ⅰ）當(dāng)∠OCQ=90°時(shí)，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

由AQ=