Question

2．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E．
（1）∠B=45度．
（2）如圖1，若點(diǎn)D在斜邊BC上，DM垂直平分BE，垂足為M．求證：BD=AE；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CE=6，求△BEC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）連接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，進(jìn)而判斷△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分線的性質(zhì)可得ED=AE，根據(jù)等量代換可得BD=AE；
（3）延長(zhǎng)BF，CA，交與點(diǎn)G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形內(nèi)角和定理可得：∠GBC=∠G，進(jìn)而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三線合一，可得BF=FG=$\frac{1}{2}$BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可證△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求△BEC的面積．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
故答案為：45；
（2）連接ED，如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DM垂直平分BE，
∴BD=ED，
∴∠BED=∠B=45°，
∴∠EDC=∠B+∠BED=90°，
∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，
∴ED=EA，
∴BD=AE；
（3）延長(zhǎng)BF和CA交于點(diǎn)G，如圖2，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=∠GFC=90°，
∴∠CBG=∠CGB，
∴CG=CB，
∴BF=GF=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠GFC=∠GAB=90°，
∴∠ACF+∠G=90°，
∴∠ABG+∠G=90°，
∴∠ACF=∠ABG，
在△ACE和△ABG中
∠ACE=∠ABG
AC=AB
∠EAC=∠GAB
∴△ACE≌△ABG（ASA），
∴CE=BG，
∴CE=2BF，
∵CE=6，
∴BF=$\frac{1}{2}$CE=3，
$\begin{array}{l}{S_{△BEC}}=\frac{1}{2}CE•BF=\frac{1}{2}×6×3=9\end{array}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；準(zhǔn)確找出命題中隱含的等量關(guān)系，是證明全等三角形的關(guān)鍵．