Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DE于F．設(shè)CD=x．
（1）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于3？

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由題意知四邊形EACF為平行四邊形，欲使其為菱形，需要CF=AC=3．根據(jù)相似三角形△BDE∽△CDF的對(duì)應(yīng)邊成比例求得

BE

CF

=

BD

CD

，把相關(guān)線段的數(shù)據(jù)代入可以求得CD的長度；
（2）根據(jù)梯形面積公式列出關(guān)于x的方程，通過解方程求得x的值．

解答：解：（1）由題意知四邊形EACF為平行四邊形，欲使其為菱形，需要CF=AC=3．
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=3，
∴由勾股定理得：AB=5．
又AE=CF=3，故BE=2．
∵CF∥AB，
∴△BDE∽△CDF，
∴

BE

CF

=

BD

CD

，即

4-x

x

=

2

3

，
解得 x=

12

5

，
即當(dāng)x=

12

5

時(shí)四邊形EACF為菱形；

（2）∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴

DE

CA

=

BD

BC

，
∴

DE

3

=

4-x

4

，
解得：DE=3-

3

4

x
由S=

1

2

（AC+ED）•DC=

1

2

×（3-

3

4

x+3）x=3，
解得 x₁=4+2

2

（不合題意舍去），x₂=4-2

2

，
所以 x=4-2

2

時(shí)，四邊形EACF面積為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題利用了菱形的鄰邊相等的性質(zhì)．