Question

16．正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH是正方形，面積為34．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出四邊形EFGH是正方形，由勾股定理得EH，即可得出正方形EFGH的面積．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴四邊形EFGH的面積=EH²=34，
故答案為：正方形，34．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．