Question

8．如圖，在四邊形ABDC中，AD=4，CD=3$\sqrt{2}$，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥AD交DC的延長(zhǎng)線于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四點(diǎn)共圓，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=$\sqrt{2}$AD=4$\sqrt{2}$，求得CE=DE-CD=$\sqrt{2}$，通過△ACE≌△ABD，于是得到BD=CE=$\sqrt{2}$．

解答 解：過A作AE⊥AD交DC的延長(zhǎng)線于E，
∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，
∴A，B，D，C四點(diǎn)共圓，AC=AB，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=$\sqrt{2}$AD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=DE-CD=$\sqrt{2}$，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ACE與△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ADB=45°}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴BD=CE=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．