Question

 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)．

(1)    求這條拋物線的解析式；

(2)    點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度的最大值；

(3)    設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連結(jié)．過點(diǎn)作的平行線

．在直線上是否存在點(diǎn)，在軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為直角梯形？若存在，請(qǐng)求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1)因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)、，

所以解這個(gè)方程組，得   

所以拋物線的解析式為：．

(2)設(shè)直線的解析式為：，因?yàn)?sub>、坐標(biāo)分別為，，

所以  解這個(gè)方程組，得 

所以直線的解析式為：．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以．

因?yàn)?sub>軸，我們可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以．

因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的上方，

所以＝＝． 

即＝． 所以當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為4

 (3) 存在．理由如下：

要使四邊形為直角梯形，則四邊形

首先必須為梯形，即需滿足∥或∥．

①     若∥，

因?yàn)?sub>、兩點(diǎn)在直線上，即有∥．

又因∥，所以點(diǎn)在直線上．

因?yàn)辄c(diǎn)又在拋物線上，

所以點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)．

由已知是直線與拋物線的交點(diǎn)，

所以就是滿足條件的一個(gè)點(diǎn)．

在中，令，即，解得(舍去)．

所以，即． 

因?yàn)橹本�與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)在第二象限，故舍去．

過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．

在直線中，令，得．即點(diǎn)的坐標(biāo)為．

在中，因?yàn)?sub>，所以．

因?yàn)?sub>∥，所以．

所以是等腰直角三角形．

所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．

②∥，

因?yàn)橹本�與直線不垂直，所以點(diǎn)必為直角頂點(diǎn)．軸．

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，我們可設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

所以，解得(舍去)．得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)(點(diǎn)在直線上)，交軸于點(diǎn)，則．

在中，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)和點(diǎn)，坐標(biāo)分別是或．