Question

使得5×2^m+1是完全平方數(shù)的整數(shù)m的個(gè)數(shù)為

1

．

Answer 1

分析：由5×2^m+1是完全平方數(shù)，可設(shè)5×2^m+1=n² （其中n為正整數(shù)），可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），即可得n為奇數(shù)，然后設(shè)n=2k-1（其中k是正整數(shù)），即可得方程組

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，解方程組即可求得答案．

解答：解：設(shè)5×2^m+1=n² （其中n為正整數(shù)），
則5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），
∵5×2^m是偶數(shù)，
∴n為奇數(shù)，
設(shè)n=2k-1（其中k是正整數(shù)），
則5×2^m=4k（k-1），
即5×2^m-2=k（k-1）．
顯然k＞1，
∵k和k-1互質(zhì)，
∴

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，
解得：k=5，m=4．
因此，滿足要求的整數(shù)m只有1個(gè)．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方數(shù)的知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是將原式變形，可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），然后得到n為奇數(shù)，則可設(shè)n=2k-1（其中k是正整數(shù)），從而得到方程組．