Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC的延長(zhǎng)線交AD延長(zhǎng)線于E點(diǎn)且DE=2，AD=4，EC=2

3

，
（1）試判斷AE和⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）求∠E的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定推出△ECD∽△EAC，推出∠ECD=∠EAC，求出∠B=∠DAC，推出∠BAD=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠CAD=30°，推出∠B=∠CAD=∠BCO=∠ECD=30°，求出∠DCA=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

解答：解：（1）AE和⊙O相切，
理由是：∵DE=2．，AD=4，EC=2

3

，
∴AE=DE+AD=6，

DE

EC

=

2

2 3

=

3

3

，

EC

EA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴

DE

EC

=

EC

EA

，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAC，
∴∠ECD=∠EAC，
AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BCO=∠ECD=∠EAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
∴EA⊥OA，OA半徑，
∴AE和⊙O相切；                    

（2）由（1）得：△ECD∽△EAC，
∴

CD

AC

=

EC

EA

=

3

3

，
∵∠ACD=180°-∠ACB=90°，
∴tan∠DAC=

CD

AC

=

3

3

，
∴∠DAC=30°
∴∠ECD=∠DAC═30°
∴∠E=180°-∠DAC-∠ECD-∠ACD=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．