Question

2．四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠BAC=120°，∠BCD=150°，若AC=5$\sqrt{3}$，AD=11，則BC的長為7$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長BA，過點C作CE⊥BA與點E，延長DC，過點A做AF⊥DC與點F，在Rt△AEC中可得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$；在Rt△ACF中可得到$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$，再由∠ACD=∠BCD-∠ACB，結合已知角的度數(shù)，即可用∠D將∠ACD表示出來，在$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$中結合sin²∠D+cos²∠D=1，即可求出sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=sin∠B，將其代入$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$中即可求出線段BC的長．

解答 解：延長BA，過點C作CE⊥BA與點E，延長DC，過點A做AF⊥DC與點F，如圖所示．

∵在Rt△AEC中，CE=AC•sin∠CAE=AC•sin∠BAC，CE=BC•sin∠B，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$．
∵在Rt△ACF中，AF=AC•sin∠ACF=AC•sin∠ACD，AF=AD•sin∠D，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB=60°-∠B．
∵∠BCD=150°，∠B=∠D，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=150°-（60°-∠B）=90°+∠B=90°+∠D．
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$=$\frac{sin∠D}{sin（90°+∠D）}$=$\frac{sin∠D}{cos∠D}$，
∵AC=5$\sqrt{3}$，AD=11，
∴sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$cos∠D，
又∵sin²∠D+cos²∠D=1，
∴sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=sin∠B．
又∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$，且∠BAC=120°，AC=5$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{AC•sin∠BAC}{sin∠B}$=$\frac{5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7$\sqrt{3}$．
故答案為：7$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是：借助直角三角形這個工具得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$以及$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$．