Question

矩形紙片ABCD，AD=3AB，若將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AC于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)O的直線交AD于點(diǎn)E，交BC于F，則EF：BF的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由題意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可證明△AOE≌△COF，從而得出∴四邊形AFCE是菱形． 由EF⊥AC，得∠AOE=90°，可證明△AOE∽△ADC，寫(xiě)出比例式

OE

OA

=

CD

AD

=

AE

AC

，即可得出EF=

1

3

AC=

10

3

CD，BF=

5

3

CD，從而求得結(jié)果．

解答：
證明：當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
在△AOE與△COF中

∠AOE=∠COF=90° ∠EAO=∠FCO OA=OC

∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形；
∴AE=AF=FC=CE，OE=OF=

1

2

EF，OA=OC=

1

2

AC；
∴OE：OA=EF：AC=CD：AD，
∴EF=

1

3

AC=

10

3

CD，
∵∠FOC=∠B=90°，∠OCF=∠BCA；
∴△FOC∽△ABC，
∴CF：AC=OF：AB=

10

6

，
∴AF=

10

6

AC=

5

3

CD，
在RT△ABF中
BF=

AF2-AB2

=

4

3

CD，
∴EF：BF=

10

4

．
故答案為：

10

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．