Question

13．已知：關于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，若y是關于m的函數(shù)，且y=mx₁+mx₂，求這個函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接求出△=b²-4ac與0的關系即可；
（2）先利用求根公式求出方程的兩根，然后把兩根代入y=mx₁+mx₂中，再化簡即可．

解答 （1）證明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是關于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵當m＞0時，（m+2）²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：由求根公式，得x=$\frac{（3m+2）±（m+2）}{2m}$，
∴x=$\frac{2m+2}{m}$或x=1，
∴x₁=1，x₂=$\frac{2m+2}{m}$，
∴y=mx₁+mx₂=m（x₁+x₂）=m（$\frac{3m+2}{m}$）=3m+2，
即y=3m+2為所求．

點評 本題主要考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的定義的知識，解答（1）需要掌握根與△=b²-4ac的關系，解答（2）需要利用求根公式用m表示出方程的根，此題難度不大．