Question

8．如圖，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（2）連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；
（2）∠CMQ=60°不變．通過證△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

解答 解：（1）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=5-t
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=$\frac{5}{3}$；
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t=$\frac{10}{3}$；
∴當(dāng)?shù)?\frac{5}{3}$秒或第$\frac{10}{3}$秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

（2）∠CMQ=60°不變．
在△ABQ與△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠CAP=60°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．掌握判定三角形全等的方法，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．