Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點，直線是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在直線上確定一點，使的周長最小，求出點的坐標(biāo)；

（3）若點是拋物線上一動點，當(dāng)時，請直接寫出點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標(biāo)為（1，2）；（3），，，．

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；

（2）由A、B關(guān)于拋物線對稱可知，連接BC交對稱軸于點P，求P即為所求，求出直線BC的解析式，代入x=1即可得到;

(3)由，即可知OC=3OD，即可求解.

解：（1）拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
即-3a=3，解得：a=-1，
故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3；

（2）∵點A與點B關(guān)于直線l對稱，

∴PA＝PB，

∴PC+PA＝PB+PC，當(dāng)P、B、C共線時PB+PC最小，PC+PA最小

∴此時△PAC的周長最小，

由y＝﹣x2+2x+3可得C（0，3）

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，

把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3，

當(dāng)x＝1時，y＝﹣x+3＝2，

∴點P的坐標(biāo)為（1，2）．

（3）∵，

即OC=3OD，

當(dāng)x=0時，y=3，C（0，3）

∴D為（x,±1）

當(dāng)y=1時，x=1±，

當(dāng)y=-1時，x=1±

∴C的坐標(biāo)為，，，．