Question

我們給出如下定義：點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，我們稱以PA，PB，PC為邊構(gòu)成的新三角形為原三角形的“聯(lián)誼三角形”．
（1）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=150°，∠BPC=120°，∠APC=90°，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′，連結(jié)PP′，請(qǐng)判斷△CPP′是不是△ABC的“聯(lián)誼三角形”？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該“聯(lián)誼三角形”各內(nèi)角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若等邊△ABC的“聯(lián)誼三角形”是等腰直角三角形（設(shè)PB=PC），分別求∠APB，∠APC，∠BPC的度數(shù)？
（3）若∠APB=α°，∠BPC=β°，∠APC=γ°，則“聯(lián)誼三角形”各內(nèi)角的度數(shù)分別為

 

，

 

，

 

（直接用含α或β或γ的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ACP′≌△ABP，結(jié)合等邊三角形的判定定理及其性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)“聯(lián)誼三角形”的定義，結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)“聯(lián)誼三角形”的定義，找出新三角形中的內(nèi)角與已知角之間的內(nèi)在聯(lián)系，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）△CPP′是△ABC的“聯(lián)誼三角形”
∵將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，∠PAP′=60°，∠AP′C=∠APB=150°；
∴PA=P′A，CP′=BP，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA
即△CPP′的三邊分別是PA，PB，PC構(gòu)成的．
是△ABC的“聯(lián)誼三角形”．
∵△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=∠AP′P=60°，
∴∠PP′C=150°-60°=90°，∠P′PC=90°-60°=30°，∠PCP′=180°-90°-30°=60°；
（2）若PB=PC，由（1）知，在“聯(lián)誼三角形”△CPP′中，∠PCP′=90°，
∠CPP′=∠CP′P=45°，
所以，∠APB=∠AP′C=45°+60°=105°，
∠APC=45°+60°=105°，∠BPC=360°-105°-105°=150°．
（3）由（1）知：∠AP′C=∠APB=α°，∠APP′=60°，
∴∠PP′C=α°-60°，∠P′PC=γ°-60°，∠PCP′=180°-（α°-60°）-（γ°-60°）=180°-α°+60°-γ°+60°=300°-α°-γ°．
即“聯(lián)誼三角形”各內(nèi)角的度數(shù)分別為α°-60°，γ°-60°，300°-α°-γ°，
∴該題答案為α°-60°，γ°-60°，300°-α°-γ°．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是充分利用旋轉(zhuǎn)變換過(guò)程中的不變量，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)及有關(guān)的幾何知識(shí)來(lái)分析、判斷、證明．