Question

14．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)M、N分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BM的中點(diǎn)．
（1）求證：$\frac{CN}{AB}=\frac{CD}{MB}$；
（2）求∠NCD的余切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性質(zhì)得到CN=AN=$\frac{1}{2}$AB，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)N分別是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BM的中點(diǎn)，
∴$\frac{CN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CD}{MB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CN}{AB}=\frac{CD}{MB}$；

（2）過M作MN⊥AB于H，
∵點(diǎn)N分別是邊AB的中點(diǎn)，
∴CN=AN=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACN=∠A=30°，
∴∠NCD=∠MCD-30°=∠CMB-30°=∠MBA，
∴設(shè)BC=2k，則MA=$\sqrt{3}$k，MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，HB=4k-$\frac{3}{2}$k=$\frac{5}{2}$k，
∴cos∠NCD=$\frac{HB}{MH}$=$\frac{\frac{5}{2}k}{\frac{\sqrt{3}}{2}k}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．