Question

【題目】已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（0，2），與x軸交于B（﹣2，0）、C（2，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y上的一個動點(diǎn)，連接PO并延長至點(diǎn)Q，使OQ＝2OP．若點(diǎn)Q正好落在該拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y上的一個動點(diǎn)，連接PO并延長至點(diǎn)Q，使OQ＝mOP（m為常數(shù)）；

①證明點(diǎn)Q一定落在拋物線上；

②設(shè)有一個邊長為m+1的正方形（其中m＞3），它的一組對邊垂直于x軸，另一組對邊垂直于y軸，并且該正方形四個頂點(diǎn)正好落在拋物線和組成的封閉圖形上，求線段PQ被該正方形的兩條邊截得線段長最大時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）（，1）（-，1）（3）①見解析②當(dāng)點(diǎn)Q與正方形右下或左下頂點(diǎn)重合時，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，-5-4）或（-2-，-5-4）．

【解析】

（1）用兩點(diǎn)式求出拋物線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，作PE⊥x軸，FQ⊥x軸，利用相似關(guān)系求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，因為點(diǎn)Q在拋物線上，所以將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入解析式，求得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）①同（2）的方法，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)代入y2解析式，可證明點(diǎn)Q在拋物線y2上；

②因為y1與y2拋物線都是以y軸為對稱軸的拋物線，所以正方形也是以y軸對稱，從而獲得正方形右側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入各自解析式獲得縱坐標(biāo)，以右側(cè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)做差等于正方形邊長，列出方程求出m的值，從而獲得正方形四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由圖可知，當(dāng)Q點(diǎn)與正方形的左下和右下端點(diǎn)重合時PQ被正方形所截的線段最大，從而獲得點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解：（1）由條件可設(shè)拋物線y1＝ax2+2，將C（2，0）代入

可得拋物線；

（2）如圖，作PE⊥x軸，FQ⊥x軸

設(shè)點(diǎn)P（t，），

利用△PEO∽△OFQ可求得點(diǎn)Q（﹣2t，t2﹣4）．

把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，

得：t2﹣4＝，

∴3t2＝6，

∴t=±，

∴P1（，1），P2（，1）；

（3）①證明：設(shè)點(diǎn)P（t，），

利用相似可求得點(diǎn)Q（﹣mt，）．

將x＝﹣mt代入中，

得：．

∴點(diǎn)Q一定落在拋物線上；

②如圖所示

∵正方形的邊長為m+1，

由拋物線的對稱性可知

正方形右邊兩個頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

將x＝代入拋物線解析式

可得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為：和，

∴-＝m+1，

解得：．

∵m＞3，

∴.

∴正方形右邊兩個頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

將x＝代入得：

，

∴正方形右下頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

∴正方形右下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（），

同理，正方形左下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

設(shè)PQ與y軸所成的角為α，當(dāng)PQ與正方形上下兩邊相交時，

PQ被正方形上下兩邊所截線段的長，

當(dāng)α增大時，cosα減小，增大，

當(dāng)PQ經(jīng)過正方形右下頂點(diǎn)時，α最大，PQ被正方形上下兩邊所截線段最大，此時點(diǎn)Q與正方形右下或左下頂點(diǎn)重合；

當(dāng)PQ與正方形上右兩邊（或上左兩邊）相交時，由圖形可知隨著α的增大，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長減小，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q與正方形右下或左下頂點(diǎn)重合時，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）或（，）．