Question

如圖①在梯形ABCD中，AD∥BC。AB=DC

（1）如果點P，E和F分別是BC，AC和BD的中點，證明：AB=PE＋PF

（2）如果點P是線段BC上任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，如圖②所示，那么AB=PE＋PF這個結論還成立嗎？請說明理由

（3）如果點P在線段BC的延長線上， PE∥AB，PF∥DC，其他條件不變，那么結論AB=PE＋PF是否成立？直接寫出結論，不必證明。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵P、F分別為BC、BD的中點，

∴PF=CD，

同理：PE=AB，

又∵AB=CD，

∴PF=AB，

∴AB=PE+PF；

（2）答：成立，AB=PE+PF．

證明：延長PE交AD于G，

∵AG∥BP，AB∥PG，

∴四邊形ABPG為平行四邊形．

∴AG=BP，∠AGP=∠ABP．

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB且BC為公共邊，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

∴∠ACB=∠FBP，

又∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAC=∠FBP，

∵FP∥CD，

∴∠FPB=∠DCB．

∴∠FPB=∠AGE．

∴△AEG≌△BPF（ASA）．

∴AB=PG=PE+PF．

（3）答：AB=PF-PE．

【解析】（1）由于PF是△BDC的中位線，PE是△ABC的中位線而AB=CD，故有PF=PE;

（2）延長PE交AD于G，易證：四邊形ABPG為平行四邊形，可證：△AEG≌△BPF，得EG=PF，故有AB=PG=PE+PF;

（3）延長AD交EP于G，易證：四邊形DGPC為平行四邊形，可證：△DFG≌△CPF，得FG=PF，故有AB=PG=PE-PF.