Question

15．我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱矩形，正方形；
（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你直接寫(xiě)出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到ADBE，連接AD、DC，∠DCB=30°．求證：DC+BC=AC，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
（4）如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AD、DC，得到ABCD，則∠DCB=$\frac{α}{2}$°，四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義和勾股四邊形的性質(zhì)，有矩形或正方形或直角梯形滿足題意；
（2）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)，分別得出答案；
（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形；
（4）連接CE，證明△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形．

解答 解：（1）學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：矩形，正方形；
故答案為：矩形，正方形；

（2）如圖1所示：M（3，4），M（4，3）；

（3）證明：如圖2，連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，又
∵∠CBE=60，
∴△CBE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60，
∵∠DCB=30，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（4）如圖3，當(dāng)∠DCB=$\frac{α}{2}$，四邊形ABCD是勾股四邊形，
理由：連接CE，
由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=α，
∴∠BCE=∠BEC=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四邊形ABCD是勾股四邊形
故答案為：$\frac{a}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合以及勾股定理旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，了解勾股四邊形的定義及性質(zhì)，難點(diǎn)在第四問(wèn)，注意等量代換法的應(yīng)用．