Question

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．
（1）求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)；
（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量x的取值范圍）
②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問(wèn)：是否存在直線(xiàn)EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在直線(xiàn)EF，求出x的值；若不存在直線(xiàn)EF，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）
（2）
①y=（＜x≤5）
②當(dāng)時(shí)，y的最大值為
（3）x=解析:
解：（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=
（2）①當(dāng)0＜x≤時(shí)
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
當(dāng)＜x≤5時(shí)，易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）
∴y=·x·（5—x）=≤
②當(dāng)0＜x≤時(shí)，y隨x的增大而增大.
y=≤,即當(dāng)x=時(shí)，y最大值為
當(dāng)＜x≤5時(shí)，
∵
∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為
∵＜
∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為
（3）假設(shè)存在
當(dāng)0＜x≤5時(shí)，AF=6—x
∴0＜6—x＜3
∴3＜x＜6
∴3＜x≤5
作FG⊥AB與點(diǎn)G
由△AFG∽△ACD可得
∴，即FG=
∴x·=
∴=3，即2x2-12x+5=0
解之得x1=，x2=
∵3＜x1≤5
∴x1=符合題意
∵x2=＜3
∴x2不合題意，應(yīng)舍去
∴存在這樣的直線(xiàn)EF，此時(shí)，x=