Question

已知一條拋物線經(jīng)過A（0，3），B（4，6）兩點(diǎn)，對稱軸是x=

5

3

．
（1）求這條拋物線的關(guān)系式；
（2）證明：這條拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)中，必存在點(diǎn)C，使得對x軸上任意點(diǎn)D都有AC+BC≤AD+BD．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出函數(shù)的解析式：y=ax²+bx+c，根據(jù)拋物線經(jīng)過A（0，3），B（4，6）兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；
（2）令y=0，得到方程，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系求出拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，來證明．

解答：（1）解：設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（4，6），對稱軸是直線x=

5

3

，
∴

c=3 16a+4b+c=6 - b 2a = 5 3

，
解得

a= 9 8 b=- 15 4 c=3

∴y=

9

8

x2-

15

4

x+3．

（2）證明：令y=0，得

9

8

x2-

15

4

x+3=0，
∴x1=

4

3

•x2=2，
∵A（0，3），取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，
∴E（0，-3），
設(shè)直線BE的關(guān)系式為y=kx-3，把B（4，6）代入上式，得6=4k-3，
∴k=

9

4

，
∴y=

9

4

x-3，
由

9

4

x-3=0，
得x=

4

3

．
故C為(

4

3

，0)，C點(diǎn)與拋物線在x軸上的一個交點(diǎn)重合，
在x軸上任取一點(diǎn)D，在△BED中，BE＜BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，
∴AC+BC＜AD+BD，
若D與C重合，則AC+BC=AD+BD，
∴AC+BC≤AD+BD．

點(diǎn)評：（1）第一問主要考查用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，還運(yùn)用了對稱軸公式；
（2）此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，另外用到了三角形兩邊之和大于第三邊這一定理．