Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，AB與CD相交于點(diǎn)E，線段OA，OC的長是一元二次方程x²-18x+72=0的兩根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=

3

4

．
（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，求k的值；
（3）若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)C，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)，并直接寫出位于x軸下方的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,勾股定理,相似三角形的應(yīng)用

專題：壓軸題

分析：（1）先求出一元二次方程x²-18x+72=0的兩根就可以求出OA，OC的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如圖1，作EM⊥x軸于點(diǎn)M，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（3）如圖2，分別過C、E作CE的垂線交坐標(biāo)軸三個(gè)點(diǎn)P₁、P₃、P₄，可作出三個(gè)Q點(diǎn)，過E點(diǎn)作x軸的垂線與x軸交與p₂，即可作出Q₂，以CE為直徑作圓交于y軸兩個(gè)點(diǎn)P₅、P₆，使PC⊥PE，即可作出Q₅、Q₆．

解答：解：（1）∵x²-18x+72=0
∴x₁=6，x₂=12．
∵OA＞OC，
∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（-6，0）；

（2）∵tan∠ABO=

3

4

，
∴

OA

OB

=

3

4

，
∴

12

OB

=

3

4

，
∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=

162+122

=20．
∵BE=5，
∴AE=15．
如圖1，作EM⊥x軸于點(diǎn)M，
∴EM∥OB．
∴△AEM∽△ABO，
∴

EM

BO

=

AM

AO

=

AE

AB

，
∴

EM

16

=

AM

12

=

15

20

，
∴EM=12，AM=9，
∴OM=12-9=3，
∴E（3，12），
∴12=

k

3

，
∴k=36；

（3）滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)是6，如圖2所示，
x軸的下方的Q₄（10，-12），Q₆（-3，6-3

6

）；

如圖①，∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴EG²=CG•GP，
∴GP=16，
∵△CPE與△PCQ中心對(duì)稱，
∴CH=GP=16，QH=EG=12，
∵OC=6，
∴OH=10，
∴Q（10，-12），

如圖②∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴CE=15，
∵M(jìn)N=

1

2

CG=

9

2

，
∴MK=

9

2

-3=

3

2

，
∴PK=

( 15 2 )2-( 3 2 )2

=3

6

，
∴PH=3

6

-

EG

2

=3

6

-6，
根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)，
∴Q（-3，6-3

6

），

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例等．