已知：∠MAN＝60°，點(diǎn)B在射線AM上，AB＝4(如圖)．P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ(點(diǎn)B，P，Q按順時(shí)針排列)，O是△BPQ的外心．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)時(shí)，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP＝x，AC·AO＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)若點(diǎn)D在射線AN上，AD＝2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離．

答案：
解析：

　　(1)

　　證明：如圖，連結(jié)，

　　是等邊三角形的外心，，　　　　1分

　　圓心角．

　　當(dāng)不垂直于時(shí)，作，，垂足分別為．

　　由，且，

　　，．

　　．　　　　1分

　　．　　　　1分

　　．點(diǎn)在的平分線上．　　　　1分

　　當(dāng)時(shí)，．

　　即，點(diǎn)在的平分線上．

　　綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在的平分線上．

　　(2)

　　解：如圖，

　　平分，且，

　　．　　　　1分

　　由(1)知，，，

　　，．

　　，．　　　　1分

　　．

　　．．．　　　　1分

　　定義域?yàn)椋?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/30A2/0097/0025/ff8ebab606fef5097a11a486424c61b5/C/Image256.gif" width=37 height=18>．　　　　1分

　　(3)解：①如圖，當(dāng)與圓相切時(shí)，；　　　　2分

　　②如圖，當(dāng)與圓相切時(shí)，；　　　　1分

　�、廴鐖D，當(dāng)與圓相切時(shí)，．　　　　2分


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已知：A、B、C不在同一直線上．

(1)若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

A、B、C如圖一，當(dāng)∠A＝45°時(shí)，R＝1，求∠BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng)度；

Ⅱ．如圖二，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證sin∠A＝；

(2)若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與點(diǎn)A不重合)滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)∠MAN＝60°，BC＝2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為點(diǎn)P，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說明理由．

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已知∠MAN，AC平分∠MAN．

(1)在圖1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB＋AD＝AC；

(2)在圖2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)在圖3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝________AC；

②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝________AC(用含α的三角函數(shù)表示)，并給出證明．

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