Question

1．已知整數(shù)a₁，a₂，…，a₂₀₀滿足：
（1）-1≤a_n≤2，n=1，…，200；
（2）a₁+a₂+…+a₂₀₀=200；
（3）$a_1^2+a_2^2+…+a_{200}^2=300$．
求$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意知a_n是-1、0、1、2中的某一個(gè)整數(shù)，從而可以分別設(shè)出含有-1、0、1、2的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)題意，進(jìn)行靈活變形，即可求得$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值與最小值．

解答 解：由題意可得，
a_n是-1、0、1、2中一個(gè)，
設(shè)整數(shù)a₁，a₂，…，a₂₀₀中含有x個(gè)-1，y個(gè)1，z個(gè)2，則含有0的個(gè)數(shù)為200-x-y-z，
$\left\{\begin{array}{l}{x×（-1）+y×1+（200-x-y-z）×0+2z=200}\\{（-1）^{2}×x+{1}^{2}×y+{0}^{2}×（200-x-y-z）+{2}^{2}×z=300}\end{array}\right.$
化簡，得
$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+2z=200}\\{x+y+4z=300}\end{array}\right.$
解得-x+y=200-2z，$\left\{\begin{array}{l}{y-x=200-2z}\\{y+x=300-4z}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=50-z}\\{y=250-3z}\end{array}\right.$
∵$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z≤200}\\{x+y≥0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{300-3z≤200}\\{300-4z≥0}\end{array}\right.$
解得$\frac{100}{3}≤z≤75$，
∴z的最小值為34，z的最大值為75，
∵$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$=（-1）³×x+1³×y+2³×z=-x+y+8z=200-2z+8z=200+6z，
∴當(dāng)z=34時(shí)，200+6z取得最小值，200+6z=200+6×34=200+204=404，
當(dāng)z=75時(shí)，200+6z取得最大值，200+6z=200+6×75=200+450=650，
即$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值是650，最小值是404．

點(diǎn)評(píng) 本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的關(guān)系式，找出所求問題需要的條件．