Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若BC= ，AC=5，求圓的直徑AD及切線BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，

連接OB，∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵點B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切線，

（2）

解：如圖2，

設圓的半徑為R，連接CD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠ACCD=90°，

∵BC=BD，

∴OB⊥CD，

∴OB∥AC，

∵OA=OD，

∴OF= AC= ，

∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠BDE=∠ACB，

∵∠DBE=∠ACB，

∴△DBE∽△CAB，

∴ ，

∴ ，

∴DE= ，

∵∠OBE=∠OFD=90°，

∴DF∥BE，

∴ ，

∴ ，

∵R＞0，

∴R=3，

∵BE是⊙O的切線，

∴BE= = =

【解析】（1）先根據(jù)等弦所對的劣弧相等，再結合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD，最后用直徑所對的圓周角為直角即可；（2）利用三角形的中位線先求出OF，再用平行線分線段成比例定理求出半徑R，最后用切割線定理即可．此題是切線的判定，主要考查了圓周角的性質，切線的判定，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和相似，圓內(nèi)接四邊形的性質，解本題的關鍵是作出輔助線．