Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t表示移動的時間（0≤t≤6），那么：
（1）當(dāng)t為何值時，△QAP是等腰直角三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積；
（3）當(dāng)t為何值時，△PCQ的面積是31cm²？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到AP=2t，DQ=t，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)四邊形QAPC的面積=四邊形ABCD的面積-△CDQ的面積-△PBC的面積計算；
（3）用t表示出△PCQ的面積，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意得，AP=2t，DQ=t，
則PB=12-2t，AQ=6-t，
△QAP是等腰直角三角形，
則AQ=AP，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：當(dāng)t=2時，△QAP是等腰直角三角形；
（2）四邊形QAPC的面積=四邊形ABCD的面積-△CDQ的面積-△PBC的面積
=12×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×6×（12-2t）
=36；
（3）△PCQ的面積=四邊形QAPC的面積-△QAP的面積
=36-$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）
=36-6t+t²，
當(dāng)△PCQ的面積是31cm²時，36-6t+t²=31，
解得，t₁=1，t₂=5，
則當(dāng)t=1或5時，△PCQ的面積是31cm²．

點(diǎn)評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法，根據(jù)題意正確表示出線段AP、DQ的長度、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．