如圖1,在△ABC中,AB邊上高CE與AC邊上高BD相交于H點(diǎn).若BC=25,BD=20,BE=7.
(1)求DE的長;
(2)如圖2,若以DE為直徑作圓,分別與AC、AB交于G、F,連AH,求證:AH⊥GF.

解:由已知得CD=15,CE=24,
(1)由題設(shè)知∠ADB=∠AEC=90°,
∴△ADB∽△AEC,
…①,
由①有,

∴點(diǎn)D是Rt△AEC的中點(diǎn),
∴故DE=AC=15;

(2)證明:
方法一:由條件知:G、F、E、D;E、D、C、B四點(diǎn)共圓,
則∠AFG=∠ADE=∠EBC,故GF∥BC;
方法二:連DF,則DF∥CE,
由(1)知D為AC中點(diǎn),
∴F為AE中點(diǎn),
∴AF=9,
∴AG=,
,
,

∴GF∥BC,
又∵H為△ABC垂心,
∴AH⊥BC,
∵GF∥BC,
∴AH⊥GF.
分析:(1)首先運(yùn)用勾股定理求得CD,CE的長,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AD的長,從而發(fā)現(xiàn)要求的線段就是直角三角形斜邊上的中線;
(2)根據(jù)H是高的交點(diǎn)得AH⊥BC,所以只需證明GF∥BC即可.
點(diǎn)評:此題主要考查相似三角形的基本性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì),此類題的知識綜合性較強(qiáng),熟練運(yùn)用勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì),善于把要證得的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2
;
(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:
(1)寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且CD=CA,點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),連接EF并延長交AB于點(diǎn)G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,不必證明;若不存在,請說精英家教網(wǎng)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
BC2+CD2
;
(2)已知:如圖2,在△ABC中,AB上的高為CD,試判斷(AC+BC)2與AB2+4CD2之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí),且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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