Question

5．如圖，已知點A（8，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O、A），過P、O兩點的二次函數(shù)y₁和過P、A兩點的二次函數(shù)y₂的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當OD=AD=5時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于3．

Answer 1

分析 過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=6，DE=3．設P（2x，0），根據二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出$\frac{BF}{DE}$=$\frac{OF}{OE}$，$\frac{CM}{DE}$=$\frac{AM}{AE}$，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答 解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=5，DE⊥OA，
∴OE=EA=$\frac{1}{2}$OA=4，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=3．
設P（2x，0），根據二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴$\frac{BF}{DE}$=$\frac{OF}{OE}$，$\frac{CM}{DE}$=$\frac{AM}{AE}$，
∵AM=PM=$\frac{1}{2}$（OA-OP）=$\frac{1}{2}$（8-2x）=4-x，
即$\frac{BF}{3}$=$\frac{x}{4}$，$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得：BF=$\frac{3}{4}$x，CM=3-$\frac{3}{4}$x，
∴BF+CM=3．
故答案為3．

點評 此題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形的性質，以及相似三角形的性質和判定的應用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．