Question

13．如圖，已知c＞0，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（x₂＞x₁），與y軸交于點C．
（1）若x₂=1，BC=$\sqrt{5}$，求函數(shù)y=x²+bx+c的最小值；
（2）若$\frac{OC}{OA}$=2，求拋物線y=-x²+bx+c頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知B（1，0），在Rt△BCO中，由勾股定理可求得OC=2，從而得到點C的坐標為（0，2），把點B和點C的坐標代入可求得拋物線的解析式；
（2）由$\frac{OC}{OA}$=2可知：A（-$\frac{1}{2}c$，0），把點A的坐標代入拋物線的解析式得到-$\frac{1}{4}$c²-$\frac{1}{2}$c+c=0，從而可求得c=2，將c=2代入得到y(tǒng)=-x²+bx+2，由拋物線的頂點坐標公式可知x=$\frac{2}$，y=2+$\frac{1}{4}^{2}$，然后消去字母b，從而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式．

解答 解：（1）∵B（x₂，0），x₂=1，
∴點B的坐標為（1，0），
∴OB=1，
∵BC=$\sqrt{5}$，
∴OC²+OB²=（$\sqrt{5}$）²，
∴OC=2，
∴點C的坐標為（0，2），
把C（0，2），B（1，0）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為線y=-x²-x+2，
∴y=x²+bx+c=x²-x+2=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$，
即函數(shù)y=x²+bx+c的最小值是$\frac{7}{4}$；
（2）∵$\frac{OC}{OA}$=2，
∴OA=$\frac{1}{2}$c，則A（-$\frac{1}{2}$c，0），
把A（-$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-x²+bx+c得-$\frac{1}{4}$c²-$\frac{1}{2}$c+c=0．
解得：c₁=2，c₂=0（舍去）．
將c=2代入拋物線的解析式得：y=-x²+bx+2．
由拋物線的頂點坐標公式可知：x=$\frac{2}$，y=2+$\frac{1}{4}^{2}$．
由x=$\frac{2}$得b=2x，將b=2x代入y=2+$\frac{1}{4}^{2}$得；y=2+$\frac{1}{4}$×4x²，整理得：y=2+x²（x＞0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、配方法求二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)的頂點坐標公式，由拋物線的頂點坐標公式得到x=$\frac{2}$，y=2+$\frac{1}{4}^{2}$是解題的關鍵．