Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)（為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，等腰直角三角形的定點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)在第四象限.

（1）如圖，若該拋物線(xiàn)過(guò) ，兩點(diǎn)，求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（3分）

（2）平移（1）中的拋物線(xiàn)，使頂點(diǎn)在直線(xiàn)上滑動(dòng)，且與交于另一點(diǎn).

i）若點(diǎn)在直線(xiàn)下方，且為平移前（1）中拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，當(dāng)以

三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；（4分）

ii）取的中點(diǎn)，連接.試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （2分）

Answer 1

解（1）A(0,-1)  C(4,3) 

            則｜AC｜=

ABC為等腰直角三角形 ∴AB=BC=4

∴B點(diǎn)(4,-1)將A,B代入拋物線(xiàn)方程有

⇒

∴…………………………………..3

（2）當(dāng)頂點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上滑動(dòng)時(shí)，平移后拋物線(xiàn)與AC另一交點(diǎn)Q就是A點(diǎn)沿直線(xiàn)AC滑動(dòng)同樣的單位。

  原拋物線(xiàn)

∴頂點(diǎn)P為(2,1)

設(shè)平移后頂點(diǎn)P為(a,a-1),

則平移后拋物線(xiàn)

聯(lián)立y=x-1(直線(xiàn)AC方程)   得Q點(diǎn)為（a-2,a-3）∴｜PQ｜=

 即實(shí)際上是線(xiàn)段AP在直線(xiàn)AC上的滑動(dòng).

 �。�點(diǎn)M在直線(xiàn)AC下方，且M,P,Q構(gòu)成等腰直角三角形，

那么先考慮使MP,Q構(gòu)成等腰直角三角形的M點(diǎn)的軌跡，

再求其軌跡與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)以確定M點(diǎn).

①     若∠M為直角，

則M點(diǎn)軌跡即為AC下方距AC為MH且與AC平行的直線(xiàn)l

   又知｜PQ｜= ，則｜MH｜=  ｜PM｜=2

直線(xiàn)l即為AC向下平移｜PM｜=2個(gè)單位 L:y=x-3  聯(lián)立

得x=1± M點(diǎn)為（1+，-2）或（1-，--2）…………………………5

②     若∠P=或∠Q為直角，即PQ為直角邊，MQ⊥PQ且，MQ=PQ=

或MP⊥PQ,且MP=PQ=,∴M點(diǎn)軌跡是AC下方距AC為且與AC平行直線(xiàn)L

直線(xiàn)L即為AC向下平移｜MP｜=4個(gè)單位L:y=x-5聯(lián)立

得x=4或x=-2∴M點(diǎn)為(4,-1)或（-2，-7）

綜上所有符合條件的點(diǎn)M為（1+，-2）（4,-1）；

（1-，--2）,（-2，-7）…………………7

ⅱ)(特別說(shuō)明：解答中的M都應(yīng)該換成F)

知PQ=  有最大值，即NP+BQ有最小值

如下圖，取AB中點(diǎn)F，連結(jié)QF,NF,知N為中點(diǎn)∴FN為AC邊中位線(xiàn)，∴FN∥AC且FN=AC==PQ∴ ∴FNPQ為平行四邊形

即PN=QF   ∴QB+PN=BQ+FQ   此時(shí)，作B點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B′,連,

交AC于點(diǎn)H，易知=BQ

∴BQ+PN=+FQ≥(三角形兩邊之和大于第三邊)僅當(dāng)Q與H重合時(shí)，取等號(hào)

即BQ+PN最小值存在 且最小值為連結(jié)知為等腰直角三角形。

=4，AF=AB=2  ∴由勾股定理得

∴最大值存在，且最大值為  ………………9