Question

12、已知兩個(gè)自然數(shù)的積與和之差恰等于它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和，求這樣的自然數(shù)．

Answer 1

分析：此題設(shè)這兩個(gè)正整數(shù)為ma，na（其中m，n，a都是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），然后根據(jù)題意可得ma•na-（ma+na）=mna+a，再變形為a=（m+1）（n+1）/（mn），既而假設(shè)（1）當(dāng)m，n其中一個(gè)為1時(shí)和當(dāng)m，n都不等于1時(shí)兩種情況進(jìn)行分析論證得出答案．

解答：解：設(shè)這兩個(gè)正整數(shù)為ma，na（其中m，n，a都是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），
所以ma•na-（ma+na）=mna+a，
所以mna=mn+1+m+n，
所以a=（m+1）（n+1）/（mn），
（1）當(dāng)m，n其中一個(gè)為1時(shí)，不妨設(shè)m=1，所以a=2（n+1）/n，
因?yàn)閚不等于1（否則兩個(gè)數(shù)相等，不合），所以n不能被（n+1）整除，所以n能被2整除，
所以n=2，此時(shí)這兩個(gè)數(shù)為6和3；
（2）當(dāng)m，n都不等于1時(shí)，因?yàn)閙不能被（m+1）整除，n不能被（n+1）整除，
所以n被（m+1）整除，m被（n+1）整除，
所以設(shè)m+1=pn，n+1=qm，（p，q為正整數(shù)），
所以m+1=p（qm-1），
所以m=（p+1）/（pq-1），
當(dāng)q≥4時(shí)，原式?jīng)]有正整數(shù)解，
所以當(dāng)q=1時(shí)，p=2或3，此時(shí)兩個(gè)數(shù)為6和4或6和3；
當(dāng)q=2時(shí)，p=1，此時(shí)兩個(gè)數(shù)為6和4；
當(dāng)q=3時(shí)，p=1，此時(shí)兩個(gè)數(shù)為6和3．
故答案是：這樣的自然數(shù)是6和3或6和4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了學(xué)生對(duì)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和的理解和掌握．要求學(xué)生能正確運(yùn)用其解答問題．此題較難，是好題．