Question

10．如圖，直線y=-x+2與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．直線y=-2x+b經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸相交丁點(diǎn)C，在直線AC上是否存在點(diǎn)D，使∠BDA=45°？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在．說明理由．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線AC的性質(zhì)斷定若存在點(diǎn)D，點(diǎn)D必在線段AC上，過O作OE∥BD交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥AE與點(diǎn)F，在Rt三角形AOF和OEF中用三角函數(shù)表示出OF，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)比例關(guān)系即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由BC=OC-OB=2，OC=4，以及BD∥OE得出點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：假設(shè)存在，過點(diǎn)O作OE∥BD交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥AE與點(diǎn)F，如圖．

∵直線y=-x+2與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2）．
∵直線y=-2x+b經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸相交丁點(diǎn)C，
∴有0=-2×2+b，解得b=4，
∴直線AC解析式為y=-2x+4，點(diǎn)C（0，4）．
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=2，
∴∠OAC＞45°，∠OCA=90°-∠OAC＜45°，
∴點(diǎn)D在線段AC上．
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，4-2m）（0＜m＜2）．
在△OAE中，OF=OE•sin∠OEA，OF=OA•sin∠OAE，
又∵OE∥BD，tan∠OAC=2，
∴∠OEA=45°，sin∠OEA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠OAE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\frac{2×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴OE²=m²+（4-2m）²=${（\frac{4\sqrt{10}}{5}）}^{2}$，
解得：m=$\frac{4}{5}$，或m=$\frac{12}{5}$（舍去），
E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
又∵BD∥OE，OB=2，OC=4，
∴B為OC中點(diǎn)，D為CE中點(diǎn)，
∵點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)E（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
故在直線AC上存在點(diǎn)D，使∠BDA=45°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是在△OAE中用角正弦值表示出來高線，即利用證明正弦定理的過程找到比例關(guān)系．本題屬于中等難度題，失分點(diǎn)是不知如何將角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，在此類問題中要叫學(xué)生們明白到，只要作出高線，可以利用正弦函數(shù)表示出高，來得到邊與角的正弦值之間的關(guān)系．