Question

（1）如圖①，⊙O的弦CE垂直于直徑AB，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)D在

CB

上，作直線(xiàn)CD，ED，與直線(xiàn)AB分別交于點(diǎn)F，M，連接OC，求證：OC²=OM•OF；
（2）把（1）中的“點(diǎn)D在

CB

上”改為“點(diǎn)D在

AE

上”，其余條件不變（如圖②），試問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖①，連接CM，OE．易得AF是EC的中垂線(xiàn)，有MC=ME，有∠CMA=∠EMA．∠AOC=

1

2

∠COE，由圓周角定理知，∠AOC=∠CDE．由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系和等量代換求得∠OCM=∠F，故有△OMC∽△OCF，得到

OC

OF

=

OM

OC

，即OC²=OM•OF．
（2）如圖②，連接MC，OE．易得AF是EC的中垂線(xiàn)，有MC=ME，∠EMG=∠CMO．由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系和等量代換求得∠FCO=∠CMO，故有△OCF∽△OMC．得

OC

OM

=

OF

OC

，即OC²=OM•OF．

解答：（1）證明：如圖①，連接CM，OE，
∵AB⊥CE于G，∴GC=GE．
∴MC=ME，∴∠CMA=∠EMA．
∠AOC=

1

2

∠COE，∴∠AOC=∠CDE．
又∠OCM=∠AOC-∠CMA，
∠F=∠CDE-∠DMF，
∠DMF=∠EMA，
∴∠OCM=∠F．
又∠COM=∠FOC，∴△OMC∽△OCF．
∴

OC

OF

=

OM

OC

．
∴OC²=OM•OF．

（2）解：成立．理由如下：
如圖②，連接MC，OE，
∵AB⊥CE于G，
∴GC=GE，

BC

=

BE

=

1

2

CBE

．
∴∠CDE=∠COB，MC=ME．
∴∠EMG=∠CMO．
∵∠FCO=∠COB-∠OFC，∠EMG=∠CDE-∠DFM，∠DFM=∠OFC，
∴∠EMG=∠FCO．
∴∠FCO=∠CMO．
∴△OCF∽△OMC．
∴

OC

OM

=

OF

OC

，
∴OC²=OM•OF．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了垂徑定理，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，中垂線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．