Question

已知關于x的一元二次方程x²-（8+k）x+8k=0
（1）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．

Answer 1

解：（1）∵△=（8+k）²-4×8k
=（k-8）²，
∵（k-8）²，≥0，
∴△≥0，
∴無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

（2）解方程x²-（8+k）x+8k=0得x₁=k，x₂=8，
①當腰長為5時，則k=5，
∴周長=5+5+8=18；
②當?shù)走厼?時，
∴x₁=x₂，
∴k=8，
∴周長=8+8+5=21．
分析：（1）先計算△=（8+k）²-4×8k，整理得到△=（k-8）²，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）先解出原方程的解為x₁=k，x₂=8，然后分類討論：腰長為5時，則k=5；當?shù)走厼?時，則x₁=x₂，得到k=8，然后分別計算三角形的周長．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的判別式和等腰三角形的2性質(zhì)．