Question

2．如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為C（l，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求點A的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）如圖2，設(shè)G為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)△BGD的面積等于△ADB的面積時，求點G的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點設(shè)為頂點式，求解析式即可；
（2）根據(jù)面積相等，先求出高，再作出滿足條件的平行線，聯(lián)立對稱軸求交點即可；
（3）作出圖形，設(shè)點，根據(jù)相似建立等量關(guān)系求解即可．

解答 解：如圖1

（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
依題意，將點B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0，
解得：a=-1，
∴所求拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3 
∴當(dāng)y=0時，-（x-1）²+4=0，
∴x=-1或x=3，
∴點A（-1，0），
（2）設(shè)G為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)△BGD的面積等于△ADB的面積時，求點G的坐標(biāo)；
如圖2

由y=-（x-1）²+4  知對稱軸為x=1，
在y=-（x-1）²+4，
中，當(dāng)x=0，得y=3∴點D的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將B（3，0），D（0，3）坐標(biāo)代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-x+3，
在Rt△BOD中，DB=$\sqrt{{3^2}+{3^2}}=3\sqrt{2}$，
 又∵${S_{△ADB}}=\frac{1}{2}AB•OD=\frac{1}{2}×4×3$=6，
設(shè)△ABD中BD邊上的高為h，
則有$\frac{1}{2}BD•h=6$，即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}h=6$，
∴$h=2\sqrt{2}$，
在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于BD，且到BD的距離等于$h=2\sqrt{2}$，
這樣的直線有兩條，分別為L₁、L₂，則直線與對稱軸x=1，
的兩個交點G₁、G₂就是所求的點，
設(shè)L₁與y軸交于點E，BD與直線x=1交于點F，由已知條件可知四邊形DEG₁F為平行四邊形，
∴DE=FG₁，
∵Rt△DOB∽Rt△EOA，OD=OB，
∴∠ODB=45°，∴∠OEA=45°
∴OE=OA=1∴DE=4，
∴將直線BD向下平移4個單位即為L₁：y=-x-1，
同理，將直線BD向上平移4個單位即為L₂：y=-x+7，
∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-7}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，
即G₁（1，-2）G₂（1，6），
（3）如圖3，

由題意可知，∠NMD=∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使$\frac{NM}{MD}=\frac{MD}{BD}$即可，
即：MD²=NM×BD，
設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），由MN∥BD，
可得△AMN∽△ABD，
∴$\frac{NM}{BD}=\frac{AM}{AB}$，
 再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=$3\sqrt{2}$，AB=4，
∴$MN=\frac{AM×BD}{AB}=\frac{{（1+a）×3\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}（1+a）$，
∵MD²=OD²+OM²=a²+9，
∴${a^2}+9=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}（1+a）×3\sqrt{2}$，
 解得：$a=\frac{3}{2}$或a=3（不合題意，舍去），
∴點M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），
又∵點T在拋物線y=-（x-1）²+4圖象上，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{15}{4}$，
∴點T的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用頂點式求拋物線，會根據(jù)面積相等建立平行線解題，會分析相似建立關(guān)系求值是解題的關(guān)鍵．