Question

（2006•崇左）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸交于A，B兩點，AC是⊙M的直徑，過點C的直線交x軸于點D，連接BC，已知點M的坐標為，直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5．
（1）求點D的坐標和BC的長；
（2）求點C的坐標和⊙M的半徑；
（3）求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點M的坐標為，直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，D在x軸上，可求出OM=，D（5，0），又因過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，利用垂徑定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位線可得OM=BC，BC=2；
（2）因為BC=2，所以可設(shè)C（x，2），利用直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5．可得到y(tǒng)=-x+5=2，即求出C（3，2），利用勾股定理可得AC==，即⊙M的半徑為2；
（3）求出BD=5-3=2，BC=，CD==4，AC=4，AD=8，CD=4，，可得△ACD∽△CBD，
所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切線．
解答：（1）解：∵點M的坐標為，直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，D在x軸上，
∴OM=，D（5，0）；
∵過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=BC，
∴BC=2．

（2）解：∵BC=2，
∴設(shè)C（x，2）；
∵直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，
∴y=-x+5=2，
∴x=3，即C（3，2），
∵CB⊥x軸，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC==，
即⊙M的半徑為2．

（3）證明：∵BD=5-3=2，BC=，CD==4，
AC=4，AD=8，CD=4，
∴，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直徑，
∴CD是⊙M的切線．
點評：解決本題需用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．