Question

（2010•崇川區(qū)模擬）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0）、B（3，4）、C（0，4），點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個單位的速度向A運(yùn)動，點(diǎn)N從B同時出發(fā)以每秒1個單位的速度向C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，過點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ、設(shè)運(yùn)動時間為t秒，
（1）求AC所在直線的解析式；
（2）請用含t的代數(shù)式直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）試寫出△AQM的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出其最大面積；
（4）是否存在點(diǎn)M，使△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AC所在直線的解析式為：y=kx+b（k≠0），知道直線上兩點(diǎn)可以求出k、b，
（2）點(diǎn)N從B同時出發(fā)以每秒1個單位的速度向C運(yùn)動，且NP⊥x軸，又知OA=OC，可知NC=NQ，故能知道Q點(diǎn)坐標(biāo)，
（3）由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，求最值，
（4）分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)AC所在直線的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
由，
解得．
∴AC所在直線的解析式為：y=-x+4．（3分）

（2）點(diǎn)Q（3-t，t+1）．（5分）

（3）．（7分）
當(dāng)時，．（8分）

（4）存在使△AQM為直角三角形的點(diǎn)M．（9分）
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°
即點(diǎn)A不可能為Rt△AQM的直角頂點(diǎn)．（9分）
①當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時．（如圖①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=QA
∵QP⊥AM∴AP=MP=PQ
即，
∴則M（1，0）．（10分）
②當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時．（如圖②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，則M（2，0）．（11分）
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)，結(jié)合圖形的面積，滲透分類討論的思想，使問題綜合性增強(qiáng)．