Question

在矩形ABCD中，AB=6，E為CD的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)P．
（1）試說(shuō)明：AE=BE；
（2）求sin∠DBE的值；
（3）求矩形ABCD的面積S．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ADE=∠BCE=90°，AD=BC，求出CE=DE，證出△BCE≌△ADE即可；
（2）根據(jù)AB∥CD推出△PDE∽△PBA，得出比例式，求出AE=3PE=BE，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出設(shè)AD=a，根據(jù)勾股定理求出BD²=AD²+AB²=a²+6²①，AE²=AD²+DE²=a²+3²②，推出BD²+AE²=2a²+45，根據(jù)BD=3PD，AE=3PE求出9（PD²+PE²）=2a²+45=DE²，求出a即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠BCE=90°，AD=BC
又∵E為AD中點(diǎn)，
∴CE=DE，
在△BCE和△ADE中

BC=AD ∠C=∠ADE CE=DE

∴△BCE≌△ADE，
∴AE=BE；

（2）當(dāng)點(diǎn)E為CD中點(diǎn)時(shí)，

DE

BA

=

1

2

，
∵四邊形ABCD為矩形
∴AB∥CD，
∴△PDE∽△PBA，
∴

PD

PB

=

PE

PA

=

DE

BA

=

1

2

，
由

PE

PA

=

1

2

可得

PE

EA

=

1

3

，
由（1）知EB=EA，
在Rt△PBE中，∠BPE=90°
∴sin∠DBE=

PE

EB

=

PE

EA

=

1

3

；

（3）設(shè)AD=a，
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，BD²=AD²+AB²=a²+6²①，
在Rt△EAD中，∠EDA=90°，AE²=AD²+DE²=a²+3²②，
①、②聯(lián)立可得BD²+AE²=2a²+45，
由（2）知：

PD

PB

=

PE

PA

=

1

2

，
∴BD=3PD，AE=3PE，
∴9（PD²+PE²）=2a²+45，
在Rt△PDE中，∠DPE=90°，則有PD²+PE²=DE²=9，
∴2a²+45=9×9，
解得a=±3

2

（舍去負(fù)值）
∴AD=3

2

，
∴S=AB•AD=18

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行推理的能力，難度偏大．