Question

18．已知x軸上兩點A（-1，0）、B（4，0）．
（1）在y軸上取一點C，使∠ACB=90°，則點C的坐標為（0，2）或（0，-2）．
（2）設(shè)點$D（{x，-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}）$是平面直角坐標系xOy中的一個動點，以AB為斜邊的直角三角形ADB與△AOC相似時，求D點坐標．
（3）設(shè)動點$D（{x，-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}）$到x軸的距離為h，當h≥OC時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（0，y），根據(jù)勾股定理和兩點間的距離公式進行解答；
（2）需要分類討論：①當∠ADB=90°2時，過D作DH⊥x軸，則△AOC∽△ADB∽△AHD，結(jié)合相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得x的值；
②當∠ADB=90°時，同理可得$\frac{AO}{CO}=\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$，結(jié)合相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得x的值；
（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到|h|≥2，由此求得相應(yīng)的x的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)C（0，y），則
1²+y²+4²+y²=5²，
解得y=±2，
故點C的坐標為：（0，2）或（0，-2）．
故答案是：（0，2）或（0，-2）；

（2）依題意得AO=1，OC=2，AB=4-（-1）=5．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1），
∴該拋物線與x軸的交點坐標是A（-1，0）、B（4，0），
即拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2經(jīng)過點A、B、D．
以AB為斜邊的直角三角形有下列情況
①如圖1，當∠ADB=90°時，過D作DH⊥x軸，則△AOC∽△ADB∽△AHD，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AH}{DH}=\frac{1}{2}$
則有$\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}}{x-（-1）}=2$，解得x₁=-1（舍去），x₂=0，
∴D₁（0，2）；
②當∠ADB=90°時，同理可得$\frac{AO}{CO}=\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$
同理可得$\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}}{x-（-1）}=\frac{1}{2}$，解得x₃=-1，x₄=3
∴D₂（3，2）；
綜上所述點D₁（0，2）和點D₂（3，2）符合要求；

（3）令$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=2$得：x₁=3，x₂=0；
令$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=-2$得：${x_3}=\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$，${x_4}=\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$；
令$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$，可得該函數(shù)圖象如圖所示2，
當$x≤\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$或$x≥\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$或0≤x≤3時，h≥OC．

點評 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)最值的求法以及勾股定理的應(yīng)用等知識點，綜合性比較強，另外，解答有關(guān)于動點問題時，必須分類討論，以防漏解或錯解．