Question

4．如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．
（1）求證：∠HEA=∠CGF；
（2）當(dāng)AH=DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；
（3）設(shè)AH=x，DG=2x，△FCG的面積為y，試求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由GE為菱形的對(duì)角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；
（2）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（3）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．

解答 （1）證明：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；

（2）證明：在△HDG和△AEH中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=HE}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形；

（3）解：過F作FM⊥CD于M，
在△AHE與△MFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M=90°}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△MFG，
∴MF=AH=x，
∵DG=2x，
∴CG=6-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$CG•FM=$\frac{1}{2}$•x•（6-2x）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵a=-1＜0，∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y_最大=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．