Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中三點A（4，0），（0，4），P（x，0）（x＜0），作PC⊥PB交過點A的直線l于點C（4，y）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x取最大整數(shù)時，求BC與PA的交點Q坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題已知點的坐標(biāo)和圖中幾何關(guān)系，要求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，得找到相似三角形，由圖中垂直條件易知△BOP∽△PAC，再根據(jù)比例關(guān)系求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由（1）知函數(shù)y的解析式，把x取最大整數(shù)時的值代入求得y的值，從而求出Q點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵BO⊥PO，PC⊥PB，
∴∠PBO+∠BPO=90°，∠BPO+∠APC=90°，
∴∠PBO=∠APC，
∵A（4，0），C（4，y）在l上，
∴∠BOP=∠PAC=90°，
∴△BOP∽△PAC（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似），
∴

PO

AC

=

BO

PA

，
∴

|x|

|y|

=

4

|x|+4

，
∵x＜0，y＜0，
∴

x

y

=

4

4-x

，
∴y=-

1

4

x²+x；

（2）∵x＜0，且x取最大整數(shù)，
∴x=-1，
此時y=-

1

4

×（-1）²-1=-

5

4

，
∵BO∥l，
∴△BOQ∽△CAQ，
∴

OQ

QA

=

BO

AC

，
設(shè)Q（a，0），有

a

4-a

=

4

|- 5 4 |

，5a=16（4-a），
∴a=

64

21

，
∴Q點的坐標(biāo)為（

64

21

，0）．

點評：此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，第一問較新穎，求出函數(shù)的關(guān)系式，為下題作鋪墊，同時又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題．