Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，ED、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
求證：
（1）DE為⊙O的切線．
（2）AB•DF=AC•BF．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定即可；
（2）證△ABD∽△CAD，推出

AB

AC

=

BD

AD

，再證△FAD∽△FDB，推出

BD

AD

=

BF

DF

，得

AB

AC

=

BF

DF

，即可得出AB•DF=AC•BF．

解答：證明：（1）如圖，連接OD、AD．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠CDA=90°．
又∵E是邊AC的中點(diǎn)，
∴DE=AE=

1

2

AC，
∴∠1=∠4，
∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴DE為⊙O的切線；

（2）如圖，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠C（同角的余角相等）．
又∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

．
易證△FAD∽△FDB，
∴

BD

AD

=

BF

DF

，
∴

AB

AC

=

BF

DF

，
∴AB•DF=AC•BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．