Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，將正方形置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸的負(fù)半軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）．
（1）若經(jīng)過點(diǎn)C的直線y=-

12

5

x-8與x軸交于點(diǎn)E，求四邊形AECD的面積；
（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將正方ABCD分成面積相等的兩部分？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正方形ABCD的邊長為4，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把y=0代入直線y=-

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5

x-8即可求出x的值，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，由梯形的面積公式即可求出四邊形AECD的面積；
（2）連接BD，求出BD的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式即可．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∴B（-5，0），
∵當(dāng)y=0時(shí)，-

12

5

x-8=0，解得x=-

10

3

，
∴E（-

10

3

，0），
∴AE=|-

10

3

+1|=

7

3

，
∴S_{四邊形AECD}=

1

2

（CD+AE）×AD=

1

2

×（4+

7

3

）×4=

38

3

；

（2）存在經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將正方ABCD分成面積相等的兩部分．理由如下：
連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)為F，連接EF，
∵B（-5，0），D（-1，4），
∴F（-3，2），
∵經(jīng)過正方形中心的直線將正方形分成面積相等的兩部分，
∴經(jīng)過點(diǎn)E、F的直線將正方ABCD分成面積相等的兩部分，
設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b（k≠0）．
又∵E（-

10

3

，0），
∴

2=-3k+b 0=- 10 3 k+b

，
解得，

k=6 b=20

，
∴直線l的解析式是y=6x+20．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的面積公式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．注意，設(shè)直線方程y=kx+b時(shí)，不要忘記k≠0這一條件．