Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在AB邊上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，則四邊形BEGF的面積與四邊形FCDG的面積之比為（ ）

A．4：7
B．9：17
C．12：23
D．16：25

Answer 1

【答案】分析：首先證△AED≌△BFA，得S_△ABF=S_△DAE，兩者都減去△AEG的面積后可得S_△AGD=S_{四邊形BGFB}，那么只需求△AEC和△AGD的面積關(guān)系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易證得△AEG∽△DAG，根據(jù)它們的相似比（可由AE、BE的比例關(guān)系求得），即可求得兩者的面積比為4：9，再由題意可求出△ADE和正方形的面積比為1：3，從而設(shè)S_AEG=4x，則S_AGD=9x，S_ABCD=39x，S_GFCD=17x，繼而可得出答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S_△ABF=S_△DAE；
∴S_△ABF-S_△AEG=S_△DAE-S_△AEG，即S_△AGD=S_{四邊形BGFB}；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴=（）²=（）²=；
∴S_△AEG：S_△DAG=4：9；
從而設(shè)S_AEG=4x，則S_AGD=9x，S_ABCD=39x，S_GFCD=17x，
∴四邊形BEGF的面積與四邊形FCDG的面積之比為9：17．
故選B．
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)．能夠發(fā)現(xiàn)四邊形BGFB和△AGD的面積關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，難度一般．