Question

如圖，已知拋物線L₁：y₁=

3

4

x²，平移后經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0）得到拋物線L₂，與y軸交于點C．
（1）求拋物線L₂的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）點P為拋物線L₂上的動點，過點P作PD⊥x軸，與拋物線L₁交于點D，是否存在PD=2OC？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于二次函數(shù)的二次項系數(shù)表示的是拋物線的開口大小和開口方向，在平移過程中，拋物線的形狀沒有發(fā)生變化，所以二次項系數(shù)仍為

3

4

，已知了平移后的拋物線經(jīng)過x軸上的A、B兩點，可由待定系數(shù)法求出平移后的拋物線解析式；
（2）由坐標(biāo)軸上點的特征可得C（0，-3），根據(jù)兩點間的距離公式得到AB，BC，AC的值，再根據(jù)等腰三角形的判定即可求解；
（3）可設(shè)P（a，

3

4

a²-

9

4

a-3），D（a，

3

4

a²），根據(jù)PD=2OC，列出方程即可求解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線L₂的解析式為y=

3

4

x²+bx+c，經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），根據(jù)題意，得

3 4 -b+c=0 12+4b+c=0

，
解得

b=- 9 4 c=-3

∴拋物線L₂的解析式為y=

3

4

x²-

9

4

x-3．

（2）△ABC的形狀是等腰三角形．
理由：根據(jù)題意，得C（0，-3），
∵AB=4-（-1）=5，BC=

42+32

=5，AC=

12+32

=

10

，
∴△ABC的形狀是等腰三角形．

（3）存在PD=2OC．
設(shè)P（a，

3

4

a²-

9

4

a-3），D（a，

3

4

a²），
根據(jù)題意，得PD=|

3

4

a²-

9

4

a-3-

3

4

a²|=|

9

4

a+3|，OC=3，
當(dāng)|

9

4

a+3|=6時，解得a₁=

4

3

，a₂=-4．
∴P₁（

4

3

，

14

3

），P₂（-4，18）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的判定以及兩點間的距離等知識，綜合性較強，難度中等．