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如圖,菱形ABCD的邊長為6,∠BAD=60°,AC為對角線.將繞點A逆時針旋轉60°得到△AC′D′,連接DC′.
(1)求證:△ADC≌△ADC′.
(2)求在旋轉過程中線段CD掃過圖形的面積.(結果保留π)
參考數據:sin60°=數學公式,cos60°=數學公式,tan60°=數學公式

解:(1)證明:∵∠DAC=∠DAC′
又∵四邊形ABCD是菱形,則四邊形ADC′D′是菱形,則∠DAC′=∠D′AC′
∴∠DAC=∠DAC′
又∵AD=AD,AC=AC′
∴△ADC≌△ADC′

(2)AC=2×6×=6
扇形CAC′的面積是=18π
扇形DAD′的面積是:=6π,
∴線段CD掃過圖形的面積是:18π-6π=12π.
分析:(1)根據旋轉的性質,以及菱形的對角線平分一組對角可以證得:∠DAC=∠DAC′根據SAS公理即可證得;
(2)根據線段CD掃過圖形的面積=扇形CAC′的面積-扇形DAD′的面積即可求解.
點評:本題主要考查了旋轉的性質,正確理解線段CD掃過圖形的面積=扇形CAC′的面積-扇形DAD′的面積是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=45°,則點D的坐標為
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,菱形ABCD的對角線AC=6,BD=8,∠ABD=α,則下列結論正確的是( 。
A、sinα=
4
5
B、cosα=
3
5
C、tanα=
4
3
D、tanα=
3
4

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,菱形ABCD的邊長為6且∠DAB=60°,以點A為原點、邊AB所在的直線為x軸且頂點D在第一象限建立平面直角坐標系.動點P從點D出發(fā)沿折線DCB向終點B以2單位/每秒的速度運動,同時動點Q從點A出發(fā)沿x軸負半軸以1單位/秒的速度運動,當點P到達終點時停止運動,運動時間為t,直線PQ交邊AD于點E.
(1)求出經過A、D、C三點的拋物線解析式;
(2)是否存在時刻t使得PQ⊥DB,若存在請求出t值,若不存在,請說明理由;
(3)設AE長為y,試求y與t之間的函數關系式;
(4)若F、G為DC邊上兩點,且點DF=FG=1,試在對角線DB上找一點M、拋物線ADC對稱軸上找一點N,使得四邊形FMNG周長最小并求出周長最小值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,菱形ABCD的邊長為8cm,∠B=60°,P、Q同時從A點出發(fā),點P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向運動,點Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動.當點Q運動到D點時,P、Q兩點同時停止運動.設P、Q運動的時間為x秒,△APQ與△ABC重疊部分的面積為ycm2(規(guī)定:點和線段是面積為0的三角形).
(1)當x=
8
8
秒時,P和Q相遇;
(2)當x=
(12-4
3
(12-4
3
秒時,△APQ是等腰直角三角形;
(3)當x=
32
3
32
3
秒時,△APQ是等邊三角形;
(4)求y關于x的函數關系式,并求y的最大值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,菱形ABCD的周長為8cm,∠ABC:∠BAD=2:1,對角線AC、BD相交于點O,求BD及AC的長.

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