Question

已知在直線y=x+4的同旁有兩個點A（-5，4），B（-1，5）
（1）在直線y=x+4上是否存在一點P，使得點P到點A，點B的距離之和最短？若存在，求出點P坐標；若不存在說明理由．
（2）在第一象限是否存在一點C，使得以線段AB為腰，以直線y=x+4為對稱軸的等腰梯形？若存在，求出梯形面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線y=x+4與x軸，y軸分別交于F，E點，過點A作直線l的垂線交y軸于A′，垂足為M，連接AE，
∵E（0，4），F（-4，0），
∴△EOF為等腰直角三角形，
∴∠OFE=∠OEF=45°，
∵A（-5，4），
∴AE∥x軸，
∴∠AEM=45°，
∴∠EAM=45°
∴∠EA′M=45°，
∴AE=EA′，
∴A′（0，-1），
AM=EM=M A′，
∴點A與點A′為關于直線l的對稱點，
連接A′B交直線l于P點，即為所求，
設直線B A′的解析式為y=kx+b，
∵A′（0，-1），B（-1，5），
∴易求得直線B A′的解析式為，
∴，
∴，
∴P（）；

（2）過點B作BN∥x軸，交y軸于G，且交直線l于N，連接BE并延長交過N且平行于y軸的直線于C，
∵E（0，4），B（-1，5），
∴BG=GE=1，
∴△BGE為等腰直角三角形，
∴∠GEB=45°，
∵∠GEN=45°，
∴∠BEN=90°，
∴∠GNE=∠ENC=∠NCE=45°，
∴BE=EN=EC，
∴點B，點C關于直線l對稱，
∴梯形ABC A′為關于直線l：y-x=4對稱的等腰梯形，
∵△AME為等腰直角三角形，AE=5，
∴EM=AM=，
∴，
同理：，
∴=．
分析：（1）設直線y=x+4與x軸，y軸分別交于F，E點，得E（0，4），F（-4，0），則△EOF為等腰直角三角形，可推出點A關于直線l的對稱點A′（0，-1），用待定系數法可求出直線A′B′的解析式，兩式聯立，即可求出點P的坐標；
（2）過點B作BN∥x軸，交y軸于G，且交直線l于N，連接BE并延長交過N且平行于y軸的直線于C，則△BGE為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，可得點B，點C關于直線l對稱，梯形ABC A′為關于直線l：y-x=4對稱的等腰梯形，△AME為等腰直角三角形，求出AA′、BC、ME，解答出即可；
點評：本題是一次函數綜合題，用到的知識點由等腰直角三角形的性質，待定系數法求一次函數的解析式，等腰直角三角形的性質和最短路程問題等，考查了學生綜合運用知識解答的能力．